Question

（1）（矩阵与变换）已知二阶矩阵M=

0 -1 2 3

．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）设向量

α

=

-1 3

，求M100

α

．
（2）（坐标系与参数方程）
已知曲线C₁的参数方程为

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

（θ是参数），曲线C₂的极坐标方程为θ=

π

4

（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C₁和曲线C₂相交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）二阶矩阵M=

0 -1 2 3

．由（M|I）=

0 -1 2 3

.

1 0 0 1

→

2 3 0 -1

.

0 1 1 0

→

1 0 0 1

.

3 2 1 2 -1 0

，能求出M-1=

3 2 1 2 -1 0

．
（Ⅱ）由特征值λ₁=1，λ₂=2，特征向量

ξ1

=

1 -1

，

ξ2

=

-1 2

，知

α

=

ξ1

+2

ξ2

，由此能求出M100

α

．
（2）（Ⅰ）由线C₁的参数方程为

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

（θ是参数），曲线C₂的极坐标方程为θ=

π

4

（ρ∈R），能求出曲线C₁的普通方程和曲线C₂的平面直角坐标方程．
（Ⅱ）由圆心（1，-1）到直线y=x的距离d=

|1+1|

2

=

2

，圆半径r=2，能求出弦长|AB|．

解答：解：（1）（Ⅰ）∵二阶矩阵M=

0 -1 2 3

．
∴（M|I）=（

0 -1 2 3

|

1 0 0 1

）→（

2 3 0 -1

.

0 1 1 0

）
→

1 3 2 0 -1

.

0 1 2 1 0

→

1 0 0 1

.

3 2 1 2 -1 0

，
∴M-1=

3 2 1 2 -1 0

；
（Ⅱ）∵特征值λ₁=1，λ₂=2，
特征向量

ξ1

=

1 -1

，

ξ2

=

-1 2

，
所以

α

=

ξ1

+2

ξ2

，
所以M100

α

=M100(

ξ1

+2

ξ2

)=λ1100

ξ1

+2λ2100

ξ2

=

1-2101 -1+2102

．
（2）（Ⅰ）∵线C₁的参数方程为

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

（θ是参数），
曲线C₂的极坐标方程为θ=

π

4

（ρ∈R）．
曲线的普通方程C1：(x-1)2+(y+1)2=4，
曲线C₂的普通方程：y=x；
（Ⅱ）∵圆心（1，-1）到直线y=x的距离d=

|1+1|

2

=

2

，
圆半径r=2，
∴弦长|AB|=2

4-2

=2

2

．

点评：第（1）题考查逆矩阵的求法和特征根、特征值的求法；第（2）题考查曲线的参数方程的应用和弦长的计算．是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．