Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}12ax+1，0＜x＜a\\{log_{\frac{1}{2}}}x+2，a≤x＜1\end{array}$且f（a²）=$\frac{5}{2}$，若当0＜x₁＜x₂＜1时，f（x₁）=f（x₂），则x₁•f（x₂）的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$
• B． $（\frac{1}{3}，1]$
• C． $[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}）$
• D． $[\frac{1}{3}，1）$

Answer 1

分析 先根据函数的解析式和f（a²）=$\frac{5}{2}$，求出a的值，再画出f（x）的图象，结合图象和f（x₁）=f（x₂），求出x₁的范围和f（x₂）的范围，问题得以解决．

解答 解：∵0＜a＜1，
∴a²＜a
∵f（a²）=$\frac{5}{2}$，
∴12a•a²+1=$\frac{5}{2}$
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6x+1，0＜x＜\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x+2，\frac{1}{2}≤x＜1}\end{array}\right.$，
画出函数f（x）的图象，如图所示，
∵0＜x₁＜x₂＜1时，f（x₁）=f（x₂），
∴当x=1时，f（1）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$1+2=2，
∴6x+1=2，解得x=$\frac{1}{6}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{1}{2}$）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$+2=3，
∴6x+1=3，解得x=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{6}$＜x₁＜≤$\frac{1}{3}$，2＜f（x₂）≤3，
∴$\frac{1}{3}$＜x₁•f（x₂）≤1，
故选：B

点评 本题考查了分段函数和函数图象应用以及不等式的性质，关键是求出a的值，画出函数的图象，属于中档题