Question

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，,，

平面平面,若，，,，且．

（1）求证：平面；

（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的值．

 

Answer 1

（1）参考解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由，所以.又,.在三角形PAO中由余弦定理可得.所以.即.又平面平面且平面平面=AD，平面PAD.所以平面.

（2）由题意可得建立空间坐标系，写出相应点的坐标，平面PAD的法向量易得，用待定系数写出平面PBC的法向量，根据两向量的法向量夹角的余弦值，求出二面角的余弦值.

（1）因为 ，，所以， 1分

在中，由余弦定理，

得， 3分

，， 4分

， 5分

又平面平面，平面平面,平面，

平面． 6分

（2）如图，过作交于，则，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 7分

则，，

8分

，

， 9分

设平面的一个法向量为，

由得即

取则，

所以为平面的一个法向

量． 11分

平面, 为平面的

一个法向量．

所以 ， 12分

． 13分

考点：1.线面垂直的证明.2.二面角.3.空间坐标系的表示.4.向量的夹角.