Question

已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3：1，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（　　）

• A、π：1
• B、3π：1
• C、3π：2
• D、3π：4

Answer 1

分析：根据几何体作出轴截面，由图和题意列出圆锥的半径和正方体棱长的关系式，求出它们的长度关系，再代入对应的面积公式，求出表面积的比值．

解答：解：作出几何体的轴截面如图：
由题意设圆锥的底面半径为r，
则母线长l=3r，
则圆锥的高h=2

2

r，设正方体的棱长为a，
由轴截面得，

h-a

h

=

2 a

2r

，即

2 2 r-a

2 2 r

=

2 a

2r

，解得3a=2

2

r，
∴圆锥与正方体的表面积之比为（πr²+πrl）：6a²=4πr²：6a²=3π：4，
故选D．

点评：本题的考点是由三视图求几何体的体积、表面积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积以及面积公式分别求解，对于多面体需要把各个面的面积求和即它的表面积，考查了空间想象能力．