Question

已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点．

（1）求证：BC⊥平面AEC；
（2）求V_B-AEC；
（3）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：在图1中，过C作CF⊥EB，
∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，
∵CD=1，∴EF=1．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．
∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．
连接CE，则CE=CB=
∵EB=2，∴∠BCE=90°，
∴BC⊥CE．
在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，∴AE⊥平面BCDE．
∵BC?平面BCDE，∴AE⊥BC．
∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．
（2）解：V_B-AEC===
（3）解：用反证法．假设EM∥平面ACD．
∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，
∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD
而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．
∴假设不成立，∴EM与平面ACD不平行．
分析：（1）在图1中，过C作CF⊥EB，连接CE，证明BC⊥CE，在图2中，利用AE⊥EB，AE⊥ED，可证AE⊥平面BCDE，从而可得AE⊥BC，即可证明BC⊥平面AEC
（2）利用V_B-AEC=，即可得到结论；
（3）用反证法．假设EM∥平面ACD，从而可证面AEB∥面AC，而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾，故可得结论．
点评：本题考查图形的翻折，考查线面垂直，考查三棱锥的体积，考查反证法思想的运用，解题的关键是掌握线面垂直，面面平行的判定方法，属于中档题．