Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(－2,0)，B(2,0)，点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为－.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点D(1,0)的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）＝1(x≠±2)（2），x＝1

(1)设P点的坐标为(x，y)．
∵A(－2,0)，B(2,0)，直线AP与直线BP的斜率之积为－，
∴＝－(x≠±2)．
化简整理得P点的轨迹C的方程为＝1(x≠±2)．
(2)依题意可设直线l的方程为x＝ny＋1.
由得(3n²＋4)y²＋6ny－9＝0.
设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－.
△MON的面积S＝|OD|·|y₁－y₂|＝＝.
令t＝，则t≥1，且3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
∴当t＝1时，3t＋取得最小值4，S取得最大值，
此时直线的方程为x＝1.