Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左、右焦点分别是F₁、F₂，过点F₁的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF₂的周长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t (O为坐标原点)，当|－|＜时，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）∪.

(1)由题意知椭圆的离心率e＝＝，∴e²＝＝＝，即a²＝2b².
又△EGF₂的周长为4，即4a＝4，∴a²＝2，b²＝1.
∴椭圆C的方程为＋y²＝1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x，y)，由，
得(1＋2k²)x²－8k²x＋8k²－2＝0.
由Δ＝64k⁴－4(2k²＋1)(8k²－2)＞0，得k²＜.
x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
∵＋＝t，∴(x₁＋x₂，y₁＋y₂)＝t(x，y)，x＝＝，y＝＝[k(x₁＋x₂)－4k]＝.
∵点P在椭圆C上，∴＋2＝2，
∴16k²＝t²(1＋2k²)．
∵|－|＜，∴|x₁－x₂|＜，
∴(1＋k²)[(x₁＋x₂)²－4x₁x₂]＜，
∴(1＋k²) ＜，
∴(4k²－1)(14k²＋13)＞0，∴k²＞.
∴＜k²＜.∵16k²＝t²(1＋2k²)，∴t²＝＝8－，
又<1＋2k²<2，∴<t²＝8－＜4，
∴－2＜t＜－或＜t＜2，
∴实数t的取值范围为∪.