Question

【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2 ，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1 ．

（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；
（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ABB1A1为矩形，AB=2， ，D是AA1的中点，∴∠BAD=90°， ， ，

从而 ， ，∵ ，∴∠ABD=∠AB1B，…（2分）

∴ ，∴ ，从而AB1⊥BD…（4分）

∵CO⊥平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，

∵AB1平面AB1C，

∴平面AB1C⊥平面BCD…（6分）

（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，

分别以OD，OB1，OC所在直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．

在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，

从而

又 ， ∴ ， ， ， ，∴ ， ， ∵G为△AB1C的重心，∴ ， …（8分）

设平面ABC的法向量为 ， ，

由 可得 ，

令y=1，则z=﹣1， ，所以 ．…（10分）

设直线GD与平面ABC所成角α，则 = ，

所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为 …（12分）

【解析】（Ⅰ）通过证明AB1⊥BD，AB1⊥CO，推出AB1⊥平面BCD，然后证明平面AB1C⊥平面BCD．（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面ABC的法向量，设直线GD与平面ABC所成角α，利用空间向量的数量积求解直线GD与平面ABC所成角的正弦值即可．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．