Question

如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．
（I）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（II）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值．

Answer 1

解：（I）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（II）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．
又设≤x≤，则-≤1-x≤，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再设n-≤x≤n+（n∈z），
当n=2k（k∈z），2k-≤x≤2k+，则-≤x-2k≤，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
当n=2k+1（k∈z），2k+1-≤x≤2k+1+，则≤x-2k≤，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴对于，n-≤x≤n+（n∈z），都有g（x）=|x-n|，而n+1-≤x+1≤n+1+，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期为1的函数．
①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有2013个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，1006）有2012个交点，而在[1006，1007]有一个交点．
∴y=mx过（，），从而得m=
②当m＜0时，同理可得m=-
③当m=0时，不合题意．
综上所述m=±…（14分）
分析：（I）根据题意先检验sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可检验y=sinx是否具有“P（a）性质”
（II）由题意可得g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），据此递推关系可推断函数y=g（x）的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m．
点评：本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题．