Question

10．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，1≤x≤2}\\{x-1，2＜x≤3}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，设g（x）的最大值与最小值之差max-min=h（a），求h（a）的表达式．

Answer 1

分析 由已知可求出g（x）的解析式，分类讨论出函数在各段上的单调性，进而求出函数的最值的表达式，进而可得h（a）的表达式．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，1≤x≤2}\\{x-1，2＜x≤3}\end{array}\right.$，
∴g（x）=f（x）-ax=$\left\{\begin{array}{l}1-ax，1≤x≤2\\（1-a）x-1，2＜x≤3\end{array}\right.$，
当1≤x≤2时，g（x）_max=1-a，g（x）_min=1-2a（2分）
当2≤x≤3时，
若0≤a≤1，则g（x）在[2，3]上递增，
g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a（4分）
若a＞1时，则g（x）在[2，3]上递减，
g（x）_max=1-2a，g（x）_min=2-3a（6分）
∴当0≤a≤$\frac{1}{2}$时，g（x）max=2-3a，g（x）min=1-2a
当$\frac{1}{2}$≤a≤1时，g（x）max=1-a，g（x）min=1-2a
当a≥1时，g（x）_max=1-a，g（x）_min=2-3a（9分）
∴h（a）=$\left\{\begin{array}{l}1-a，0≤a≤\frac{1}{2}\\ a，\frac{1}{2}＜a＜1\\ 2a-1，a≥1\end{array}\right.$ （12分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，其中分段函数分段处理是解答此类问题的常用方法．