Question

已知函数f（x）=（x²+ax+1）e^x，g（x）=（b+2）x²．
（Ⅰ）当a=1时，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线恰与曲线y=g（x）相切，求实数b的值；
（Ⅱ）当a=b＜0，对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程，与y=g（x）联立，利用判别式，可求实数b的值；
（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x）_min≥g（x）_max，即可求实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=[x²+（a+2）x+a+1]e^x=（x²+3x+2）e^x，…（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=1，∴切线为：y=2x+1，…（4分）
由

y=2x+1 y=(b+2)x2

得：（b+2）x²-2x-1=0，
∴△=4+4（b+2）=0得：b=-3…（6分）
（Ⅱ）f'（x）=（x+1）（x+b+1）e^x=0得：x=-1或x=-1-b，…（7分）
∵b＜0，∴-1-b＞-1
①当-1-b≥1，即b≤-2时，在[-1，1]上，f'（x）≤0，此时f（x）在[-1，1]单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=（b+2）e，此时g（x）_max=g（0）=0，
∴（b+2）e≥0，得：b≥-2．
∴b=-2…（10分）
②当-1-b＜1，即-2＜b＜0时，f（x）在（-1，-1-b）单调递减，（-1-b，1）单调递增，
∴f(x)min=f(-1-b)=(b+2)e-1-b，g（x）_max=g（±1）=b+2，
∴（b+2）e^-1-b≥b+2，得：e^-1-b≥1，∴-2＜b≤-1…（13分）
综上可知：-2≤b≤-1…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，利用f（x）_min≥g（x）_max，是解题的关键．