Question

8．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$asinC+ccosA
（1）求角A
（2）若a=2$\sqrt{3}$，bc=4，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）首先利用正弦定理将已知等式，转化为关于∠A的等式求之；
（2）由已知条件求出b+c即可．

解答 解：（1）由正弦定理得到sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC+sinCcosA，sinC≠0，
所以1=$\sqrt{3}$sinA+cosA=2sin（A+30°），所以sin（A+30°）=$\frac{1}{2}$，所以A+30°=150°，解得A=120°；
（2）由（1）得到cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，所以$-\frac{1}{2}=\frac{（b+c）^{2}-2×4-12}{2×4}$，解得b+c=4，
所以△ABC的周长为a+b+c=2$\sqrt{3}$+4．

点评 本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，熟练运用定理将问题转化是关键