Question

5．已知函数f（x）满足f（x+3）=3f（x），当x∈（0，3）时$f（x）=lnx-ax（{a＞\frac{1}{3}}）$，当x∈（-6，-3）时f（x）的最大值为$-\frac{1}{9}$，则实数a的值等于（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 利用条件得出 x∈（-6，-3）时f（x）的最大值为$-\frac{1}{9}$，则y=ln（x+6）-a（x+6）的最大值为-1，即可得出结论．

解答 解：当x∈（-6，-3）时，x+6∈（0，3），
f（x+6）=3f（x+3）=9f（x）=ln（x+6）-a（x+6），
x∈（-6，-3）时f（x）的最大值为$-\frac{1}{9}$，则y=ln（x+6）-a（x+6）的最大值为-1，
y′=$\frac{1}{x+6}$-a，∴x=$\frac{1}{a}$-6时，函数取得最大值-1，
∴ln$\frac{1}{a}$-1=-1，∴a=1，
故选：D．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的最大值，考查函数解析式的确定，属于中档题．