Question

( (本小题满分13分)

已知函数f(x)＝(a－1)x＋aln(x－2)，(a<1).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设a<0时，对任意x₁、x₂∈(2，＋∞)，<－4恒成立，求a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

.解：(1) ∵f′(x)＝(a－1)＋＝(1分)

      ①a<0时，f′(x)＝

∵－2＝<0，∴0<<2，∴x>2时，f′(x)<0

∴f(x)在(2，＋∞)上递减.(3分)

②a＝0时，f(x)＝－x，在(2，＋∞)上递减.(4分)

③0<a<1时，>2

∴x∈(2， )时，f′(x)>0，f(x)在(2，)上递增；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(，＋∞)上递减；(6分)

∴综上所述，当a≤0时，f(x)在(2，＋∞)上递减，

当0<a<1时，f(x)在(2，)上递增，在(，＋∞)上递减.(7分)

(2)当a<0时，f(x)在(2，＋∞)上递减；

不妨设任意x₁，x₂∈(2，＋∞)且x₁<x₂

<－4可变为f(x₁)－f(x₂)>－4(x₁－x₂)

f(x₁)＋4x₁>f(x₂)＋4x₂

∴令g(x)＝f(x)＋4x，∴g(x)在(2，＋∞)上递减

∴g′(x)<0在(2，＋∞)上恒成立

∴a－1＋＋4<0在(2，＋∞)上恒成立.

a<－3＋在(2，＋∞)上恒成立

而－3<－3＋<0，∴a≤－3.(13分)

 

【解析】略