Question

用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

n+n

＞

11

24

  （n∈N，n≥1）

Answer 1

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=1时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥1）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．

解答：证明：（1）当n=1时，左边=

1

2

＞

11

24

，∴n=1时成立（2分）
（2）假设当n=k（k≥1）时成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k+k

＞

11

24

那么当n=k+1时，左边=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k+k

+

1

K+1+k

+

1

k+1+k+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k+k

+

1

k+k+1

+

1

k+1+k+1

-

1

k+1

＞

11

24

+

1

2k+1

-

1

2k+2

＞

11

24

．
∴n=k+1时也成立（7分）
根据（1）（2）可得不等式对所有的n≥1都成立（8分）

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．