Question

（2011•南通一模）用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

(n∈N*)．

Answer 1

分析：先证明n=1时，结论成立，再设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，利用假设证明n=k+1时，等式成立即可．

解答：证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=

1×2×3×4

4

=6=左边，∴等式成立．
（2）设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，
即1×2×3+2×3×4+…+k×(k+1)×(k+2)=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

．  
则当n=k+1时，
左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

= k(k+1)(k+2)(k+3) 4 +(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)( k 4 +1)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 4 = (k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3) 4 .

∴n=k+1时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N^*成立．

点评：本题考查数学归纳法证明等式问题，证题的关键是利用归纳假设证明n=k+1时，等式成立，属于中档题．