Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0）．
（1）若椭圆的离心率e=

1

3

，求椭圆的方程；
（2）设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时恒有

OC

•

OD

＜0，其中O坐标原点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c=1 e= c a = 1 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1转化为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，a＞1，当直线l的斜率不存在时，

OC

•

OD

=（1，

a2-1

a

）•（1，-

a2-1

a

）=1-

(a2-1)2

a2

＜0，解得a＞1．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-1），联立

y=k(x-1) x2 a2 + y2 a2-1 =1

，得（a²+a²k²-1）x²-2a²k²x+a²k²-a⁴+a²=0，由此利用韦达定理得推导出a＞1．由此能求出a的取值范围是（1，+∞）．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0）．
椭圆的离心率e=

1

3

，
∴

c=1 e= c a = 1 3 a2=b2+c2

，解得a=3，b²=9-1=8，
∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

8

=1．
（2）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1转化为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，a＞1，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，得C（1，

a2-1

a

），D（1，-

a2-1

a

），

OC

•

OD

=（1，

a2-1

a

）•（1，-

a2-1

a

）=1-

(a2-1)2

a2

＜0，
整理，得a²-a-1＞0．由a＞1，解得a＞1．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) x2 a2 + y2 a2-1 =1

，得（a²+a²k²-1）x²-2a²k²x+a²k²-a⁴+a²=0，
∵∵过点F的直线l交椭圆于C、D两点，∴a²+k²-1≠0且△＞0，
∴△=（-2a²k²）²-4（a²+a²k²-1）（a²k²-a⁴+a²）＞0，

设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
x₁+x₂=

2a2k2

a2+a2k2-1

，x1x2 =

a2k2-a4+a2

a2+a2k2-1

，
y₁y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
∵

OC

•

OD

＜0，
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²＜0，
∴

(k2+1)(a2+a2k2-a4)-2k4a2+k2(a2+a2k2-1)

a2+a2k2-1

=

a2-a4-k2(a4-3a2+1)

a2(k2+1)-1

＜0，
∵a²-1＞0，∴a²（k²+1）-1＞0，
∴a²-a⁴-k²（a⁴-3a²+1）＜0，
∴（1+3k²）a²-（1+k²）a⁴-k²＜0，
∴a4-a2+1-

2k2a2+1

1+k2

＞0，
∴a⁴-a²＞0，
∴a²＞1，解得a＞1或a＜-1（舍）．
综上所述，a的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中参数的取值范围的求法，解题要认真审题，注意椭圆性质和韦达定理、向量知识的合理运用．