Question

（2012•济南二模）已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足

PA

+x

PB

+y

PC

=0．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3．则λ₂•λ₃取最大值时，2x+y的值为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：由题设条件知λ1+λ2+λ3=1，λ1=

1

2

，λ2+λ3=

1

2

，λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

时取等号，
此时点P为EF的中点，能求出λ₂•λ₃取最大值时，2x+y的值．

解答：解：∵△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3．
∴λ1+λ2+λ3=

S1+S2+S3

S

=1，
∵P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，
∴λ1=

1

2

，λ2+λ3=

1

2

∴λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

时取等号，此时点P为EF的中点，
∵实数x，y满足

PA

+x

PB

+y

PC

=0，
∴由

PA

=-

1

2

(

PB

+

PC

)，
得到x=

1

2

，y=

1

2

，2x+y=

3

2

．
故选A．

点评：本题考查向量在几何中的应用，综合性强，难度大，是高考的重点，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意转化思想的合理运用．