Question

函数f（x）=

sinx，(sin≥cosx) cosx，(sinx＜cosx)

给出下列四个命题，其中正确的是（　　）

• A．f（x）的值域为[-1.1]
• B．f（x）是以π为周期的周期函数
• C．当且仅当x=2kx+

  π

  2

  （k∈Z）时，f（x）取得最大值
• D．当且仅当2kx+π＜x＜2kx+

  3π

  2

  （（k∈Z））时，f（x）＜0

Answer 1

分析：由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假．此函数取自变量相同时函数值大的那一个，由此可顺利作出函数图象．

解答：解：由题意函数f（x）=

sinx，(sin≥cosx) cosx，(sinx＜cosx)

，画出f（x）的图象，
图中实线部分．观察图象可知：

∵f（x+2π）=f（x），但是f（x+π）≠f（x），
∴函数f（x）的最小正周期为2π，故A错误；
由图象知，在x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）时，函数图象位于最低点，
该函数取得最小值sin（

5π

4

+2kπ）=-

2

2

，
∴B错误；
由图象知，当且仅当x=2kx或x=2kx+

π

2

（k∈Z）时，函数图象位于最高点1，
∴f（x）取得最大值1，
∴C错；
∵在2kx+π＜x＜2kx+

3π

2

（（k∈Z））时，函数图象在x轴下方，
∴f（x）＜0，
∴D正确．
故选D．

点评：本题考点是三角函数的最值，本题是函数图象的运用，由函数的图象研究函数的性质，并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假．