Question

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为，其离心率，焦距为4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（Ⅰ）由已知，，求出,，即可得到椭圆的方程；

（Ⅱ）由满足∵∥，∥，，可得直线垂直相交于点．1，由（1）椭圆方程），F1（-2，0）．
①直线AC，BD有一条斜率不存在时，|．
②直线斜率均存在，则斜率均不为0，不妨设方程

联立，得．利用根与系数的关系可得：，把代入上式可得：，可得|，即可得出．

（Ⅰ）由已知，，∴，∴

故，椭圆方程为。

（Ⅱ）∵∥，∥，，∴直线垂直相交于点．

①直线有一条斜率不存在时，

②直线斜率均存在，则斜率均不为0，不妨设方程

联立，得

设，则

．把代入上式可得：，

，

当且仅当，即时，上式取等号

综上可得：的最小值为．