Question

2．已知偶函数f（x），对任意x₁，x₂∈R，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1．
（1）f（0），f（1），f（2）的值；
（2）f（x）的表达式；
（3）是否存在实数a，使得不等式|f²（x）-af（x）+1|＜2对任意的实数x∈（1，2）都成立？若不存在，说明理由；若存在，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1；同样x₁=0，x₂=1得：f（1）=0；令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）直接根据f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）；
（3）利用换元法设t=f（x），将不等式进行转化，利用参数分离法以及基本不等式进行求解即可．

解答 解：（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1，
令x₁=1，x₂=-1得：f（1-1）=f（1）+f（-1）-2+1=2f（1）-1，
∵f（0）=-1∴f（1）=0，
令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）∵f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1，
又f（x）=f（-x），f（0）=-1，
∴f（x）=x²-1；
（3）∵f（x）=x²-1，
∴不等式|f²（x）-af（x）+1|＜2等价为不等式|（x²-1）²-a（x²-1）+1|＜2，
即设t=f（x），则t=x²-1，当x∈（1，2）时，t∈（0，3），
即不等式|t²-at+1|＜2，在t∈（0，3）上恒成立．
即-2＜t²-at+1＜2，在t∈（0，3）上恒成立．
即$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-at＞-3}\\{{t}^{2}-at＜1}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{at＜{t}^{2}+3}\\{at＞{t}^{2}-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜t+\frac{3}{t}}\\{a＞t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$
∵y=t+$\frac{3}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{3}{t}}$=2$\sqrt{3}$，当且仅当t=$\frac{3}{t}$，即t=$\sqrt{3}$时，取等号，∴此时a＜2$\sqrt{3}$，
y=t-$\frac{1}{t}$在（0，3）上为增函数，∴t-$\frac{1}{t}$＜3-$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$，此时a≥$\frac{8}{3}$，
综上$\frac{8}{3}$≤a＜2$\sqrt{3}$．
即存在实数a，使得不等式|f²（x）-af（x）+1|＜2对任意的实数x∈（1，2）都成立．

点评 本题主要考查抽象函数的应用以及不等式恒成立问题．解决第一问的关键在于赋值法的应用．一般在见到函数解析式不知道而要求具体的函数值时，多用赋值法来解决．