Question

下面关于棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁叙述正确的是    ．
①任取四个顶点，共面的情况有8种；
②任取四个顶点顺次连接总共可构成10个正三棱锥；
③任取六个表面中的两个，两面平行的情况有5种；
④如图把正方体展开，正方体原下底面A₁B₁C₁D₁与标号4对应；
⑤在原正方体中任取两个顶点，这两点间的距离在区间内的情况有4种．

Answer 1

【答案】分析：任取四个项点，共面的情况有12种；任取四个顶点顺次连接总共可构成以每个顶点可以构成8个，相对面异面的两对角线的四个顶点可构成2个正四面体，故可构成10个正三棱锥；任取六个表面中的两个，两面平行的情况有3种；如图把正方体展开，正方体原下底面A₁B₁C₁D₁与标号4对应；两点点间的距离在区间内，这两顶点的连线为正方体的体对角线，共有4种．
解答：解：任取四个项点，共面的情况有12种，故①错；
任取四个顶点顺次连接总共可构成以每个顶点可以构成8个，
相对面异面的两对角线的四个顶点可构成2个正四面体，
故可构成10个正三棱锥，故②正确；
任取六个表面中的两个，两面平行的情况有3种，故③错误；
如图把正方体展开，正方体原下底面A₁B₁C₁D₁与标号4对应，故④正确；
两点点间的距离在区间内，
这两顶点的连线为正方体的体对角线，共有4种，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
点评：本题考查棱柱的结构特征，解题时要认真审题，仔细观察，熟练掌握棱柱的性质和结构，注意全面考虑，即不要遗漏，又不要重复．