Question

(08年海淀区期中练习理)（14分）

一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．

（I）判断，，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；

（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；

（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值．

（可以利用公式）

Answer 1

解析：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数”．      1分

任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，

由于，所以是“保三角形函数”.   3分

对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数”．                      4分

（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，

取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长．故不是“保三角形函数”．                                                     8分

（III）的最大值为．                                              9分

一方面，若，下证不是“保三角形函数”.

取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但

不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.

11分

另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”．

对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：

（1），

此时，同理，，

∴，故，．

同理可证其余两式.

∴可作为某个三角形的三边长．

（2）

此时，，可得如下两种情况：

时，由于，所以，.

由在上的单调性可得；

时，，

同样，由在上的单调性可得；

总之，.

又由及余弦函数在上单调递减，得

，

∴．

同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长．故时，是“保三角形函数”．

综上，的最大值为．                                        14分

说明：其他正确解法按相应步骤给分.