Question

10．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，直线l：y=x+1过E的左焦点F₁，交E于A，B两点，线段AB的中点M的横坐标为-$\frac{4}{7}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）将直线l：y=x+1，绕点F旋转至某一位置得直线l′，l′交E于C，D两点，E上是否存在一点N．满足$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=$\overline{{F}_{2}N}$？若存在，求直线l′的斜率；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由直线l：y=x+1，令y=0，可得椭圆E的左焦点F₁（-1，0），c=1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中点坐标公式可得x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$．与椭圆方程联立可得：（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，利用根与系数的关系可得3a²=4b²，与a²=b²+c²，c=1联立解出即可．
（II）假设E上存在一点N，满足$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=$\overline{{F}_{2}N}$，设l′方程为：my=x+1，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．则$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$+$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=（x₁+x₂-1，y₁+y₂），直线方程与椭圆方程联立（3m²+4）y²-6my-9=0，利用根与系数的关系可得：y₁+y₂，x₁+x₂-1．把点N的坐标代入椭圆方程解出m即可得出．

解答 解：（I）由直线l：y=x+1，令y=0，解得x=-1，∵直线l过E的左焦点F₁，∴F₁（-1，0），c=1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$2×（-\frac{4}{7}）$=-$\frac{8}{7}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$-\frac{8}{7}$，化为3a²=4b²，
联立$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}=4{b}^{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b²=3，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）假设E上存在一点N，满足$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=$\overline{{F}_{2}N}$，设l′方程为：my=x+1，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
则$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$+$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=（x₁+x₂-1，y₁+y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（3m²+4）y²-6my-9=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，
∴x₁+x₂-1=m（y₁+y₂）-3=$\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$-3=$\frac{-3{m}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}$．
把点N的坐标代入椭圆方程可得：$\frac{（\frac{-3{m}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}）^{2}}{4}$+$\frac{（\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}}{3}$=1，
化为：27m⁴-24m²-80=0，
解得m²=$\frac{20}{9}$，
解得$m=±\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴直线l′的斜率为$\frac{1}{m}$=±$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．