Question

1．已知正项数列{a_n}中，其前n项和为S_n，且a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的递推公式，a_n=S_n-S_n-1，即可求出通项公式；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），根据裂项求和，得到结论．

解答 解：（1）由a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1得，
当n=1时，a₁=s₁，且a₁=2$\sqrt{{S}_{1}}$-1，故a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，故S_n-S_n-1=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，得（$\sqrt{{S}_{n}}$-1）²=S_n-1，
∵正项数列{a_n}，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{S}_{n-1}}$+1，
∴{$\sqrt{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=n，S_n=n²，
∴a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1=2n-1．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题主要考查了用数列递推式求和通项公式的问题，以及裂项求和，属于中档题．