Question

已知圆C的方程为x²+y²-2x+ay+1=0，且圆心在直线2x-y-1=0．
（1）求圆C的标准方程．
（2）若P点坐标为（2，3），求圆C的过P点的切线方程．

Answer 1

分析：（1）将圆C方程化为标准方程，表示出圆心坐标，将圆心坐标代入直线2x-y-1=0中，求出a的值，即可确定出圆C的标准方程；
（2）判断P在圆C外，显然直线x=2满足题意；当切线方程斜率存在时，设斜率为k，表示出此切线方程，由直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程．

解答：解：（1）将圆C化为方程得：（x-1）²+（y+

a

2

）²=

a2

4

，
∴圆心坐标为（1，-

a

2

），半径r=

|a|

2

，
∵圆心在直线2x-y-1=0上，
∴2+

a

2

-1=0，
解得：a=-2，
则圆C标准方程为（x-1）²+（y-1）²=1；
（2）由P（2，3）在圆C外，显然直线x=2为过P点的圆C切线方程；
当过P点的切线方程斜率存在，设斜率为k，
∴此切线方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0，
∴圆心到切线的距离d=r，即

|k-1+3-2k|

k2+12

=1，
解得：k=

3

4

，
此时切线方程为3x-4y+6=0，
综上，满足题意的切线方程为x=2或3x-4y+6=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．