Question

3．已知函数f（x）=x²+ax+1是定义在R上的偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是偶函数，即f（-x）=f（x），求得a的值；
（2）用定义证明f（x）的单调性，基本步骤是：取值，作差，判正负，下结论．

解答 解：（1）对任意的x∈R，-x∈R，
∴f（-x）=（-x）²+a（-x）+1，
即f（-x）=x²-ax+1，
又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
即x²-ax+1=x²+ax+1，
∴-a=a，即a=0；
（2）由（1）知f（x）=x²+1，任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评 本题考查了函数奇偶性的应用与单调性的判定问题，是中档题．