Question

数列{a_n}的前n项和为S_n．已知an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*)．
（Ⅰ）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）若a₁=a（a为常数），求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设Tn=

S4n-55

(n- 5 2 )2

(n∈N*)，求数列{T_n}的最大项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用数列的递推公式，分别令n=1，2，3依次计算可求得a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）在an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*)中，分别以2n，2n-1代n（第Ⅰ问已做了由特殊到一般的铺垫），得出 a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．继而得出 a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，所以 a_2n+3=a_2n-1（n∈N*）．当n=2k（k∈N*）时，a_4k+3=a_4k-1=…=a₃=2-a₁；当n=2k-1（k∈N*）时，a_4k+1=a_4k-3=…=a₁．由已知可得a_4k-1+a_4k-2=8k-5，a_4k-a_4k-1=8k-3（k∈N^*）．所以 a_4k-2=8k-5-a_4k-1=8k-7+a₁，a_4k=8k-3+a_4k-1=8k-1-a₁．最后得出分段形式的通项公式．
（Ⅲ）在求出（Ⅱ）的基础上，应用分组求和法，得出 S4n=8n2+2n．继而 Tn=

8n2+2n-55

(n- 5 2 )2

=

42

n- 5 2

+8．再利用函数的思想研究其单调性，求出数列{T_n}的最大项．

解答：（本小题满分11分）
解：（Ⅰ）因为 an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*)，a₁=1，
所以当n=1时，有a₂-a₁=1，得出 a₂=2，
同理当n=2时求得a₃=1，
当n=3时求得a₄=6．…（2分）
（Ⅱ）因为 an+1+(-1)nan=2n-1，
所以 a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．
两式相减得a_2n+1+a_2n-1=2．
所以 a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，
所以 a_2n+3=a_2n-1（n∈N*）．
当n=2k（k∈N*）时，a_4k+3=a_4k-1=…=a₃=2-a₁；
当n=2k-1（k∈N*）时，a_4k+1=a_4k-3=…=a₁．
由已知可得a_4k-1+a_4k-2=8k-5，a_4k-a_4k-1=8k-3（k∈N*）．
所以 a_4k-2=8k-5-a_4k-1=8k-7+a₁，a_4k=8k-3+a_4k-1=8k-1-a₁．
因为 a₁=a，
所以 an=

a，n=4k-3 2n-3+a，n=4k-2 2-a，n=4k-1 2n-1-a，n=4k

(k∈N*)．…（7分）
（Ⅲ）设b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n（n∈N*），则S_4n=b₁+b₂+…+b_n．
类似（Ⅱ）可得 b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=16n-6．
所以 {b_n}为首项为10，公差为16的等差数列．
所以 S4n=8n2+2n．
因为 Tn=

S4n-55

(n- 5 2 )2

(n∈N*)，
所以 Tn=

8n2+2n-55

(n- 5 2 )2

=

42

n- 5 2

+8．
所以 T₁=-20，T₃=92．
因为 函数f(x)=

42

x- 5 2

+8的单调递减区间是(-∞，

5

2

)，(

5

2

，+∞)，
所以 数列{T_n}的最大项是92．…（11分）

点评：本题考查数列递推公式与通项公式的应用及求解，函数思想，分类与整合思想，以及由特殊到一般的认识问题解决问题的思维过程，考查逻辑思维能力，推理计算能力．