Question

给出下列命题：
①若数列{a_n}的前n项和Sn=2n+1，则数列{a_n}为等比数列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=

6

，b=4，那么满足条件的△ABC有两解；
③设函数f（x）=x|x-a|+b，则函数f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0；
④设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是

③

．

Answer 1

分析：本题需逐个判断：选项①的数列从第2项起成等比数列；选项②三角形无解；选项③，通过奇函数的定义可得结论；选项④，通过三角换元可知，直线为定圆的切线，画图可得M中的直线所能围成的正三角形面积不一定相等．

解答：解：选项①，当n=1时，可得a₁=3，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，显然n=1时式子不符合，故数列{a_n}不是等比数列；
选项②，∵a=

6

＜bsinA=2

3

，故满足条件的三角形无解，故错误；
选项③，函数f（x）=x|x-a|+b的定义域为R，故函数f（x）为奇函数的充要条件是f（-x）+f（x）=0，
即x|x-a|+b-x|x+a|+b=0，故x（|x-a|-|x+a|）+2b=0，只能a，b同时为0，即a²+b²=0，故正确；
选项④，由直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），可令 

x=cosθ y=2+sinθ

消去θ可得  x²+（y-2）²=1，故 直线系M表示圆 x²+（y-2）²=1 的切线的集合，如图中等边三角形ABC和 ADE面积不相等，故不正确．
故答案为：③

点评：本题为命题真假的判断，涉及数列，解三角形，函数的奇偶性以及三角换元，属中档题．