Question

给出下列命题：
（1）若函数f（x）=2x²+1，图象上P（1，3）及邻近上点Q（1+△x，3+△y），则

△y

△x

=4+2△x；
（2）加速度是动点位移函数S（t）对时间t的导数；
（3）

1

3

lim

h→0

f(a+3h)-f(a)

h

=f′(a)；
其中正确的命题有（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：（1）求函数在某点处的变化率

△y

△x

；（2）根据a=

v

t

，得知加速度应该是动点速度函数V（t）对时间t的导数；（3）

1

3

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

h

=

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

3h

=f′（a）．

解答：解：（1）∵f（x）=2x²+1，图象上P（1，3）及邻近上点Q（1+△x，3+△y），
∴△y=f（1+△x）-f（1）
=2+4△x+2（△x）²+1-2-1
=4△x+2（△x）²
∴

△y

△x

=4+2△x，故（1）正确；
（2）∵a=

v

t

，∴加速度应该是动点速度函数V（t）对时间t的导数，故（2）不正确；
（3）

1

3

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

h

=

1

3

lim

n→∞

（3×

f(a+3h)-f(a)

3h

）
=

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

3h

=f′（a），故（3）正确．
故选C．

点评：利用导数的定义求函数f（x）在x=x₀处的导数的方法：1．求函数的增量△y=f（x₀+△x）-f（x₀）；2．求平均变化率

△y

△x

；3．得到导数f′（x₀）=

lim

△x→0

△y

△x

．上述过程可以简化为：一差、二比、三极限．