Question

设a₁，a₂，a₃，a₄是等差数列，且满足1＜a₁＜3，a₃=4，若bn=2an，给出下列命题：（1）b₁，b₂，b₃，b₄是一个等比数列； （2）b₁＜b₂； （3）b₂＞4； （4）b₄＞32； （5）b₂b₄=256．其中真命题的个数是（　　）

Answer 1

分析：由于a₁，a₂，a₃，a₄是等差数列，且满足1＜a₁＜3，a₃=4，可得其公差

1

2

＜d＜

3

2

，而b_n=2an为等比数列，利用等比数列的性质对（1）、（2）、（3）、（4）、（5）逐个判断即可．

解答：解：∵a₁，a₂，a₃，a₄是等差数列，设其公差为d，又1＜a₁＜3，a₃=4，
∴a₃=4=a₁+（3-1）d，即1＜4-2d＜3，
∴

1

2

＜d＜

3

2

．
∵b_n=2an，
∴

bn+1

bn

=2an+1-an=2^d＞1（n=1，2，3，4），
∴{b_n}为等比数列，故（1）正确；（2）正确；
又b₂=

b3

2d

=

24

2d

=2^4-d＞24-

3

2

=2

5

2

＞2²=4，故（3）正确；
b₄=b₃•2^d=2⁴•2^d=2^4+d＞24+

1

2

=16

2

，故（4）错误；
又b₂b₄=b32=（2⁴）²=256，故（5）正确．
综上所述，真命题的个数是4个．
故选C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查等差数列与等比数列的通项公式与性质，数量掌握其通项公式与性质是解决问题的关键，属于中档题．