Question

设A₁，A₂，A₃，A₄，A₅是空间中给定的5个不同的点，则使

MA1

+

MA2

+

MA3

+

MA4

+

MA5

=

0

成立的点M的个数为

1

个．

Answer 1

分析：分别设出A₁、A₂、A₃、A₄、A₅和M各点的坐标，得到向量

MAk

（k=1，2，3，4，5）的坐标，根据加法的坐标运算代入题中的向量等式，化简整理可得M坐标关于A₁、A₂、A₃、A₄、A₅坐标的式子，从而得到存在唯一的点M，使

MA1

+

MA2

+

MA3

+

MA4

+

MA5

=

0

成立．

解答：解：设A₁（x₁，y₁，z₁），A₂（x₂，y₂，z₂），A₃（x₃，y₃，z₃），A₄（x₄，y₄，z₄），A₅（x₅，y₅，z₅）
再设M（a，b，c），则可得

MA1

=（x₁-a，y₁-b，z₁-c），

MA2

=（x₂-a，y₂-b，z₂-c），

MA3

=（x₃-a，y₃-b，z₃-c），

MA4

=（x₄-a，y₄-b，z₄-c），

MA5

=（x₅-a，y₅-b，z₅-c），
∵

MA1

+

MA2

+

MA3

+

MA4

+

MA5

=

0

成立
∴

x1+x2+x3+x4+x5-5a=0 y1+y2+y3+y4+y5-5b=0 z1+z2+z3+z4+z5-5c=0

，可得

a= 1 5 (x1+x2+x3+x4+x5) b= 1 5 (y1+y2+y3+y4+y5) c= 1 5 (z1+z2+z3+z4+z5)

因此，存在唯一的点M，使

MA1

+

MA2

+

MA3

+

MA4

+

MA5

=

0

成立
故答案为：1

点评：本题给出空间5个点，探索这5个点与点M构成的向量和为零向量的点的个数．着重考查了向量的线性运算及其几何意义的知识，属于基础题．