Question

已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）若存在a∈R，对任意，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由，解得，k∈Z，解得2kπ-＜x＜2kπ+，k∈Z，
所以函数的定义域为：；
（2）首先，，
∵，∴-3≤log₂x≤1，∴函数f（x）的值域为[0，4]，
其次，由题意知：[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀）．以下分三种情况讨论：
①当时，则，解得a≤-2；
②当时，则，解得a≥4；
③当时，则或，解得；
综上：．
分析：（1）要使原函数有意义，须使，解出即可；
（2）先求出函数f（x）在[，2]上的值域，由题意该值域为函数g（x）在[-1，2]上值域的子集，按g（x）图象的对称轴在[-1，2]的左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，结合图象可得端点处函数值g（-1）、g（2）的限制条件，得不等式组，分别解出，最后求并集即可；
点评：本题考查函数的定义域及二次函数的性质，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，解决（2）问的关键是正确理解条件并进行合理转化．