Question

（本题满分12分）

已知函数

（1）求函数的极值点；

（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程；

（3）设函数，其中，求函数在上的最小值.（其中e为自然对数的底数）

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）＞0.………………………………………………………1分

          而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜

          所以在上单调递减，在上单调递增.………………3分

          所以是函数的极小值点，极大值点不存在.…………………4分

（2）设切点坐标为，则切线的斜率为

     所以切线的方程为……………………5分

     又切线过点，所以有

     解得

         所以直线的方程为………………………………………………7分

    （3），则

         ＜0＜00＜＜＞0＞

         所以在上单调递减，在上单调递增.………………8分

     ①当即时，在上单调递增，

所以在上的最小值为………………………………………9分

②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.

在上的最小值为……………………………………10分

③当即时，在上单调递减，

所以在上的最小值为………………………………11分

综上，当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；

当时，的最小值为…………………………………………12分

 

【解析】略