Question

（ 本题满分12分 ）
已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值，最小值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式，两角差的正弦公式，化简函数f（x）的解析式为-

2

sin（2x-

π

4

），故T=

2π

2

=π．
（II）由0≤x≤

π

2

，可得-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3

4

π，进而得到-

2

2

≤-

2

sin（2x-

π

4

）≤1，从而求得f（x）的最大值，最小值

解答：解：（I） 已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x
=cos2x-sin2x=-

2

sin（2x-

π

4

），∵T=

2π

2

=π，∴f（x）的最小正周期为π．
（II）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3

4

π，∴-

2

2

≤-

2

sin（2x-

π

4

）≤1，
∴-

2

≤-

2

sin（2x-

π

4

）≤1，∴f（x）的最大值为1，最小值为：-

2

．

点评：本题考查二倍角公式的应用，两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，周期性，定义域和值域，化简函数f（x）的解析式为-

2

sin（2x-

π

4

），是解题的关键．