Question

5．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π）．
（1）求tanθ的值；
（2）求$\frac{1+sin2θ+cos2θ}{1+sin2θ-cos2θ}$的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，先求的sinθ-cosθ的值，可得sinθ和cosθ的值，从而求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π），
∴1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，即sinθcosθ=-$\frac{12}{25}$＜0，
∴sinθ＞0，cosθ＜0．
∴sinθ-cosθ=$\sqrt{{（sinθ-cosθ）}^{2}}$=$\sqrt{1-2sinθcosθ}$=$\frac{7}{5}$，
∴sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{4}{3}$．
（2）$\frac{1+sin2θ+cos2θ}{1+sin2θ-cos2θ}$=$\frac{2sinθcosθ+{2cos}^{2}θ}{2sinθcosθ+{2sin}^{2}θ}$=$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{tanθ}$=-$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．