Question

【题目】设函数f（x）= + 的图象关于y轴对称，且a＞0．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在[0，2]的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= + 的图象关于y轴对称，且a＞0，

∴f（x）是R上的偶函数，

故有f（﹣1）=f（1），即 + = + ，求得a=1，检验满足条件

（2）解：由（1）知f（x）= +2x=2x+2﹣x．

设任意的0≤x1＜x2≤2，则

f（x1）﹣f（x2）= + ﹣（ + ）=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）

=（ ﹣ ）+ =（ ﹣ ）（1﹣ ），

由题设可得， ﹣ ＜0，0＜ ＜1，1﹣ ＞0，

∴（ ﹣ ）（1﹣ ）＜0，即 f（x1）﹣f（x2）＜0，

故函数f（x）在[0，2]上单调递增，

∵f（0）=2，f（2）= ，∴f（x）在[0，2]的值域为[2， ]

【解析】（1）根据题意可得f（x）是R上的偶函数，f（﹣1）=f（1），由此求得a的值．（2）先证明函数f（x）在[0，2]上单调递增，结合f（0）=2，f（2）= ，可得 f（x）在[0，2]的值域．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．