Question

【题目】如图，在四棱锥中， 平面， ，且， ， ， 为线段上一点， ，且为的中点.

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】【试题分析】（1）运用两线面平行的判定定理分析推证；（2）运用面面垂直的判定定理分析推证；（3）依据题设条件运用线面角的定义先找出线面角，再借助解三角形的知识求解：

（1）取，中点，，连，，，由为中点，所以，且.由，，则，又，则.

所以四边形为平行四边形，所以，且面，面，则面.

（2）∵，∴，又，所以四边形为平行四边形，故.又∵面.面，∴.又，所以面，∵面，∴面面.

（3）过作，垂足为.由（2）知面面，面面，面，∴面，连接，.

则为在平面上的射影，∴为与平面所成角. 中

，

，，

∴与平面所成角正弦值为.