Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且.直线与轴、轴分别交于，两点.设直线，的斜率分别为，，证明存在常数使得，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）甶椭圆离心率得到 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则 的值可求，进一步得到 的值，则椭圆方程可求；（2）设出 的坐标分别为用 的坐标表示 的坐标，把 和的斜率都用的坐标表示，写出直线的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到横纵坐标的和，求出中点坐标，则 斜率可求，再写出所在直线方程，取 得到 点坐标，由两点求斜率得到 的斜率，由两直线斜率的关系得到 的值；

试题解析：（Ⅰ）∵，∴，，∴.①

设直线与椭圆交于，两点，不妨设点为第一象限内的交点.∴，∴代入椭圆方程可得.②

由①②知，，所以椭圆的方程为：.

（Ⅱ）设，则，直线的斜率为，又，故直线的斜率为.设直线的方程为，由题知

，联立，得.

∴，，由题意知，

∴，直线的方程为.

令，得，即，可得，∴，即.

因此存在常数使得结论成立.