【题目】(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,四边形和
都为矩形。
(Ⅰ)若,证明:直线
平面
;
(Ⅱ)设,
分别是线段
,
的中点,在线段
上是否存在一点
,使直线
平面
?请证明你的结论。
【答案】(1)证明详见解析;(2)存在,M为线段AB的中点时,直线平面
.
【解析】试题分析:(1)证直线垂直平面,就是证直线垂直平面内的两条相交直线.已经有了,那么再在平面内找一条直线与BC垂直.据题意易得,
平面ABC,所以
.由此得
平面
.(2)首先连结
,取
的中点O.考虑到
,
分别是线段
,
的中点,故在线段
上取中点
,易得
.从而得直线
平面
.
试题解析:(Ⅰ)因为四边形和
都是矩形,
所以.
因为AB,AC为平面ABC内的两条相交直线,
所以平面ABC.
因为直线平面ABC内,所以
.
又由已知, 为平面
内的两条相交直线,
所以, 平面
.
(2)取线段AB的中点M,连接,设O为
的交点.
由已知,O为的中点.
连接MD,OE,则MD,OE分别为的中位线.
所以, ,
连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则.
因为直线平面
,
平面
,
所以直线平面
.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使得直线平面
.
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【题目】已知点,圆
.
()设
,求过点
且与圆
相切的直线方程.
()设
,直线
过点
且被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程.
()设
,直线
过点
,求
被圆
截得的线段的最短长度,并求此时
的方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆交于
,
两点(
,
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
.直线
与
轴、
轴分别交于
,
两点.设直线
,
的斜率分别为
,
,证明存在常数
使得
,并求出
的值.
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【题目】在等边△ABC中,
(1)如图1,P,Q是BC边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.
①依题意将图2补全;
②小茹通过观察、实验提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM,小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形;
想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;
想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…
请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).
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【题目】如图所示的程序框图表示的算法功能是( )
A. 计算小于100的奇数的连乘积
B. 计算从1开始的连续奇数的连乘积
C. 从1开始的连续奇数的连乘积,当乘积大于或等于100时,计算奇数的个数
D. 计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n的值
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【题目】已知数列{an}的首项a1=a,其前n项和为Sn , 且满足Sn+Sn﹣1=3n2+2n+4(n≥2),若对任意的n∈N* , an<an+1恒成立,则a的取值范围是( )
A.( ,
)
B.( ,
)
C.( ,
)
D.(﹣∞, )
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【题目】【2016高考山东文数】已知椭圆C:(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2
.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴与点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B.
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k',证明为定值.
(ii)求直线AB的斜率的最小值.
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【题目】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得 ,
=20,
=184,
=720.
(1)求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程 ;
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: =
,
=
.
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