Question

【题目】在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；
想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ=20°，

∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=60°﹣20°﹣20°=20°，

∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°；

（2）

解：如图2，∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ，

∵点Q关于直线AC的对称点为M，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，

∴∠PAM=60°，

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△APM是等边三角形，

∴AP=PM．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；
　　　　（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．