【题目】
已知函数(
),记
的导函数为
.
(1)证明:当时,
在
上单调递增;
(2)若在
处取得极小值,求
的取值范围;
(3)设函数的定义域为
,区间
,若
在
上是单调函数,
则称在
上广义单调.试证明函数
在
上广义单调.
【答案】(1) 详见解析;(2) ;(3) 详见解析.
【解析】(1)试题分析:(1)当时,
,
所以,即
, 所以
,
所以在
上单调递增(2)因为
,所以
.① 当
时,
,所以函数
在
上单调递增.
若,则
;若
,则
,
所以的单调增区间是
,单调减区间是
,
所以在
处取得极小值,符合题意. ② 当
时,
,所以函数
在
上单调递减.若
,则
;若
,则
,所以
的单调减区间是
,单调增区间是
,所以
在
处取得极大值,不符合题意. ③ 当
时,
,使得
,即
,但当
时,
,即
,所以函数
在
上单调递减,所以
,即函数
在
单调递减,不符合题意.(3)记
(
),
① 若,注意到
,则
,即
. 当
时,
.所以
,函数
在
上单调递增.
② 若,当x>1时,
<0.
所以,函数
在
上单调递减,
试题解析:
(1)当时,
,
所以,即
, 所以
,
所以在
上单调递增.
(2)因为,所以
.
① 当时,
,所以函数
在
上单调递增.
若,则
;若
,则
,
所以的单调增区间是
,单调减区间是
,
所以在
处取得极小值,符合题意.
② 当时,
,所以函数
在
上单调递减.
若,则
;若
,则
,
所以的单调减区间是
,单调增区间是
,
所以在
处取得极大值,不符合题意.
③ 当时,
,使得
,即
,
但当时,
,即
,
所以函数在
上单调递减,所以
,
即函数在
单调递减,不符合题意.
综上所述,的取值范围是
.
(3)记(
),
① 若,注意到
,则
,即
.
当时,
.
所以,函数
在
上单调递增.
② 若,当x>1时,
<0.
所以,函数
在
上单调递减,
综上所述,函数在区间
上广义单调.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】国内某知名连锁店分店开张营业期间,在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效展开,参与抽奖活动的人数越来越多,该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计,表示开业第
天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:
经过进一步的统计分析,发现与
具有线性相关关系.
(1)根据上表给出的数据,用最小二乘法,求出与
的线性回归方程
;
(2)若该分店此次抽奖活动自开业始,持续10天,参加抽奖的每位顾客抽到一等奖(价值200元奖品)的概率为,抽到二等奖(价值100元奖品)的概率为
,抽到三等奖(价值10元奖品)的概率为
,试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品?
参考公式:,
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】以直角坐标系的原点为极点,
轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线
的参数方程为
,(
为参数,
),曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线
相交于
,
两点,当
变化时,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在等边△ABC中,
(1)如图1,P,Q是BC边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.
①依题意将图2补全;
②小茹通过观察、实验提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM,小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形;
想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;
想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…
请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校高三文科500名学生参加了5月份的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况,利用随机数表法从中抽取100名学生的成绩进行统计分析,抽出的100名学生的数学、语文成绩如下表:
(1)将学生编号为:001,002,003,……,499,500.若从第5行第5列的数开始右读,请你依次写出最先抽出的5个人的编号(下面是摘自随机数表的第4行至第7行)
(2)若数学的优秀率为,求
的值;
(3)在语文成绩为良好的学生中,已知,求数学成绩“优”比“良”的人数少的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的首项a1=a,其前n项和为Sn , 且满足Sn+Sn﹣1=3n2+2n+4(n≥2),若对任意的n∈N* , an<an+1恒成立,则a的取值范围是( )
A.( ,
)
B.( ,
)
C.( ,
)
D.(﹣∞, )
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【题目】设数列{an}是等差数列,前n项和为Sn , {bn}是单调递增的等比数列,b1=2是a1与a2的等差中项,a3=5,b3=a4+1,若当n≥m时,Sn≤bn恒成立,则m的最小值为 .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos2x的图象( )
A.向左平移1个单位
B.向右平移1个单位
C.向左平移 个单位
D.向右平移 个单位
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本,并称出它们的重量(单位:克),重量值落在内的产品为合格品,否则为不合格品,统计结果如表:
(Ⅰ)求甲流水线样本合格的频率;
(Ⅱ)从乙流水线上重量值落在内的产品中任取2个产品,求这2件产品中恰好只有一件合格的概率.
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