Question

（第一、二层次学校的学生做）
对于函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0），如果方程f（x）=x有相异两根x₁，x₂．
（1）若x₁＜1＜x₂，且f（x）的图象关于直线x=m对称．求证：m＞

1

2

；
（2）若0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，求证：4a+2b＜1；
（3）α、β为区间[x₁，x₂]上的两个不同的点，求证：2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．

Answer 1

分析：（1）根据题意，x₁、x₂是方程g（x）=f（x）-x=0的两个实数根，由x₁＜1＜x₂可得g（1）＜0，证出x₁x₂＜x₁+x₂-1．由此结合x=m满足m=

1

2

（-

b-1

a

-

1

a

），将其化简成关于x₁、x₂的式子即可证出m＞

1

2

；
（2）由方程g（x）=0，结合根与系数的关系算出x₁x₂=-

1

a

＞0，故x₁、x₂同号．结合题意0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，证出x₂=x₁+2＞2，从而得到2∈（x₁，x₂），由g（2）＜0，即可证出4a+2b＜1；
（3）由前面结论得x₁+x₂=

-b+1

a

，x₁x₂=

1

a

．设α＜β，将2（α-x₁）（β-x₂）展开化简，进行配凑得2（α-x₁）（β-x₂）＞2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂，结合2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂=

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

，可得

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

＜0，结合a＞0即可得到原不等式成立．

解答：解：（1）设g（x）=ax²+（b-1）x+1，且a＞0
∵x₁＜1＜x₂，∴（x₁-1）（x₂-1）＜0，即x₁x₂＜x₁+x₂-1，
于是x=m即x=-

b

2a

，也就是x=

1

2

（-

b-1

a

-

1

a

）
∴m=

1

2

（-

b-1

a

-

1

a

）=

1

2

（x₁+x₂）-

1

2

x₁x₂＞

1

2

（x₁+x₂）-

1

2

[（x₁+x₂）-1]=

1

2

即不等式m＞

1

2

成立；
（2）由方程g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，可得x₁x₂=-

1

a

＞0，故x₁、x₂同号
由0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，得x₂-x₁=2
∴x₂=x₁+2＞2，
由此可得2∈（x₁，x₂），得g（2）＜0，
所以4a+2b-1＜0，可得4a+2b＜1；
（3）由前面的结论，得x₁+x₂=

-b+1

a

，x₁x₂=

1

a

α、β为区间[x₁，x₂]上的两个不同的点，不妨设α＜β
0＞2（α-x₁）（β-x₂）
∵2（α-x₁）（β-x₂）=2αβ-2（βx₁+αx₂）+2x₁x₂
=2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂+（x₁-x₂）（α-β）＞2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂
且2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂=

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

∴0＞

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

，
结合a＞0，可得2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．

点评：本题给出二次函数满足的条件，求证不等式恒成立并讨论函数零点的分布．着重考查了一元二次方程根与系数的关系、函数的零点和不等式的等价变形等知识，考查了逻辑思维能力与推理论证能力，考查了转化化归与数形结合的数学思想，属于难题．