Question

15．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足$f（\frac{x_1}{x_2}）=f（{x_1}）-f（{x_2}）$，且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x²+3x）＜2．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值法令x₂=1，可得f（x₁）=f（x₁）-f（1），求出f（1）=0；
（2）利用定义法设x₁＞x₂，判断f（x₁）-f（x₂ ）的正负即可；
（3）通过f（$\frac{4}{2}$）=f（4）-f（2），求出2=f（4），不等式可整理为0＜x²+3x＜4，解不等式可得．

解答 解：（1）令x₂=1，
∴f（x₁）=f（x₁）-f（1），
∴f（1）=0；
 （2）设x₁＞x₂
∴f（x₁）-f（x₂ ）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）
∵x₁＞x2∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f（x₁）-f（x₂ ）＞0
∴f（x）在区间（0，+∞）是增函数；
（3）f（$\frac{4}{2}$）=f（4）-f（2），
∴f（4）=2f（2）=2，
∵f（x²+3x）＜2=f（4），
∴0＜x²+3x＜4，
∴-4＜x＜-3或0＜x＜1．
故解集为（-4，-3）∪（0，1）．

点评 考查利用特殊值法解决抽象函数问题，利用定义法证明函数单调性和利用单调性解不等式．