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    对于任意的（不超过数列的项数），若数列的前项和等于该数列的前项之积，则称该数列为型数列。

    （1）若数列是首项的型数列，求的值；

    （2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数列都不是型数列；

    （3）若数列是型数列，且试求与的递推关系，并证明对恒成立。

     

    【答案】

    （1） （2）证明如下　（3），证明如下.

    【解析】

    试题分析：（1）新信息题的解答严格按照给的信息作答；（2)构造任意一个递增的正整数数列来解决；（3）按照型数列的定义来做.

    试题解析:（1）由题意可得即所以又即２+２+＝４，所以＝

    （2）设任意一个递增的正整数数列若则由题意可得即该等式不成立，所以所以即因为所以对一切的成立.

    因此任何项数不小于3的递增的正整数列都不是型数列；

     

    （3）因为数列是型数列，所以①.于是②.两式相减，得③.则④.两式相除，得整理，得因为所以综上所述，与的递推关系为因为所以当时，若则所以对恒成立.

    考点：1、新信息题中对信息的把握能力，2、数列的相关知识及其应用.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=
    a11a12…a1n
    a21a22…a2n
    …………
    an1an2…ann
    ，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．设t(j)=
    n
    i=1
    aij=a1j+a2j+…+anj    ．
    （Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A66并计算
    6
    j=1
    t(j)    ；
    （Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：
    n
    j=1
    t(j)    =
    n
    i=1
    [ 
    n
    i
     ]    ；
    （Ⅲ）若f(n)=
    1
    n
    n
    j=1
    t(j)    ，g(n)=
    ∫
    n
    1
    1
    x
    dx    ，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•东城区一模）对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=
    a11a12…a1n
    a21a22…a2n
    …………
    an1an2…ann

    其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．
    （Ⅰ）当n=4时，试写出数阵A44；
    （Ⅱ）设t(j)=
    n
    i=1
    aij=a1j+a2j+…+anj    ．若[x]表示不超过x的最大整数，
    求证：
    n
    j=1
    t(j)    =
    n
    i=1
    [ 
    n
    i
     ]    ．

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    科目：高中数学 来源：2011届北京东城区模拟考试高三数学（一）（理科） 题型：解答题

    对于，定义一个如下数阵：

    其中对任意的，，当能整除时，；当不能整除时，．设．
    （Ⅰ）当时，试写出数阵并计算；
    （Ⅱ）若表示不超过的最大整数，求证：；
    （Ⅲ）若，，求证：．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年北京东城区模拟考试高三数学（一）（理科） 题型：解答题

    对于，定义一个如下数阵：

    其中对任意的，，当能整除时，；当不能整除时，．设．

    （Ⅰ）当时，试写出数阵并计算；

    （Ⅱ）若表示不超过的最大整数，求证：；

    （Ⅲ）若，，求证：．

     

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