Question

13．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，b=1，且2cosC-2a-c=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC外接圆的圆心到AC边的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理得a²+c²-1=-ac，由此能求出角B的大小；
（Ⅱ） 由正弦定理知$2R=\frac{b}{sinB}=\frac{1}{{sin\frac{2π}{3}}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，从而求出△ABC外接圆的半径为R，由此能求出△ABC外接圆的圆心到AC边的距离．

解答 解：（Ⅰ）由2cosC-2a-c=0，b=1，
结合余弦定理得：$\frac{{{a^2}+1-{c^2}}}{a}-2a-c=0$，（2分）
∴a²+c²-1=-ac，（3分）
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-1}}{2ac}=-\frac{1}{2}$，（5分）
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{2π}{3}$．（7分）
（Ⅱ） 设△ABC外接圆的半径为R，
由正弦定理知$2R=\frac{b}{sinB}=\frac{1}{{sin\frac{2π}{3}}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，（9分）
故$R=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，（10分）
则△ABC外接圆的圆心到AC边的距离：
$d=\sqrt{{R^2}-{{（\frac{b}{2}）}^2}}=\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．（12分）

点评 本题考查角的大小的求法，考查三角形外接圆的圆心到边的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．