Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁与CC₁的中点，则直线ED与D₁F所成角的余弦值是（　　）

• A．

  1

  5

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系，分别写出相关点和相关向量的坐标，再利用向量数量积运算的夹角公式计算两直线方向向量的夹角余弦值，由于异面直线所成的角的范围为（0，90°]，故直线ED与D₁F所成角的余弦值应为非负数

解答：解：如图：以D为原点，DA、DF、DD₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2
则D（0，0，0），E（2，0，1），F（0，2，1），D₁（0，0，2）
∴

DE

=（2，0，1），

D1F

=（0，2，-1）
cos＜

DE

，

D1F

＞=

DE • D1F

| D1F | ×| DE |

=

-1

4+1 4+1

=-

1

5

∴直线ED与D₁F所成角的余弦值为|cos＜

DE

，

D1F

＞|=

1

5

故选 A

点评：本题考查了空间异面直线所成的角的求法，空间直角坐标系在解决空间线线角问题中的应用，向量数量积运算及夹角公式的运用．