Question

如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁的中点是P，过点A₁作出与截面PBC₁平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．

Answer 1

分析：根据线面平行的定义和性质可以证明与截面PBC₁平行的截面是平行四边形．然后求平行四边形的面积即可．

解答：解：取AB、C₁D₁的中点M、N，连结A₁M、MC、CN、NA₁．
由于A₁N∥PC₁∥MC且A₁N=PC₁=MC，
∴四边形A₁MCN是平行四边形．
又∵A₁N∥PC₁，A₁M∥BP，A₁N∩A₁M=A₁，
PC₁∩BP=P，
∴平面A₁MCN∥平面PBC₁
因此，过A₁点作与截面PBC₁平行的截面是平行四边形．
又连结MN，作A₁H⊥MN于H，由于A₁M=A₁N=

5

，MN=2

2

，
则AH=

3

．
∴S△A1MN=

1

2

×2

2

×

3

=

6

故 S平行四边形A1MCN=2S△A1MN=2

6

（cm²）．

点评：本题主要考查空间立体几何中截面的形状的判断，利用线面平行或面面平行的定义和性质是解决本题的关键．