Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（I）求证：EF⊥B₁C；
（II）求二面角E-FC-D的正切值；
（III）求三棱锥F-EDC的体积．

Answer 1

分析：（I）由已知中在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点我们可由B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，得到B₁C⊥平面ABC₁D₁，进而B₁C⊥BD₁，再由中位线定理即可得到EF⊥B₁C；
（II）CF⊥BD，DD₁⊥CF，结合线面垂直的判定定理可得DD₁⊥平面ABCD，进而可得CF⊥平面BDD₁B₁，则∠EFD为二面角E-FC-D的平面角，解三角形EFD，即可求出二面角E-FC-D的正切值；
（III）由V_F-EDC=V_E-FDC，我们求出三棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（I）由正方体的几何特征可得：
∵B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，AB∩B₁C=B
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∴B₁C⊥BD₁，
又∵EF∥BD₁，
∴EF⊥B₁C．…（6分）
（II）∵点F为DB的中点，且ABCD为正方形，
∴CF⊥BD．
又DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥CF．
而DD₁∩DB=D，
∴CF⊥平面BDD₁B₁．
又EF?平面BDD₁B₁，
∴CF⊥EF，故∠EFD为二面角E-FC-D的平面角．
在Rt△EFD中，DE=1，DF=

2

，
∴tan∠EFD=

DE

DF

=

2

2

．
因而二面角二面角E-FC-D的正切值为

2

2

． …（9分）
（III）∵DE=1，FC=DF=

2

，
∴V_F-EDC=V_E-FDC=

1

3

×DE×

1

2

×DF×FC=

1

3

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积，线面垂直的性质，（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的转化关系，（II）的关键是证得∠EFD为二面角E-FC-D的平面角，（III）的关键是由V_F-EDC=V_E-FDC对棱锥进行转化．