Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+4x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间[-3，3]上的最小值与最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）a=1代入f（x），对f（x）进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性及最值问题；
（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，说明f′（x）≥0在[-1，1]上恒大于等于0，求出实数a的取值范围；
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，，f′（x）=-2x²+2x+4，
若f′（x）=0，则x=-1或x=2．                                 （2分）
在区间[-3，3]上，当x变化时f'（x）、f（x）的情况是：（5分）

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-		+		-
f（x）	15	μ	极小值	κ	极大值	μ	3

∴，f（x）_max=f（-3）=15（7分）
（Ⅱ）f′（x）=-2x²+2ax+4（8分）
∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴当x∈[-1，1]时，f′（x）≥0恒成立．（10分）
∴，（13分）
∴-1≤a≤1．                                                 （15分）
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，解题的过程中用到了转化的思想，是一道中档题；